Leysa {l}{2x+3y=2}{4x-10y+2=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x - 10 y + 2 = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{17}{32}=0.53125$$

$$y=\frac{5}{16}=0.3125$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=2,4x-10y+2=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Settu -\frac{3y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-10y+2=1.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)-10y+2=1$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4-10y+2=1$$

Leggðu -6y saman við -10y.

$$-16y+4+2=1$$

Leggðu 4 saman við 2.

$$-16y+6=1$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-16y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -16.

$$y=\frac{5}{16}$$

Skiptu \frac{5}{16} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{5}{16}+1$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{5}{16} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{15}{32}+1$$

Leggðu 1 saman við -\frac{15}{32}.

$$x=\frac{17}{32}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{17}{32},y=\frac{5}{16}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=2,4x-10y+2=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{2\left(-10\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-10\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-10\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-10\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{32}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 2+\frac{3}{32}\left(-1\right)\\\frac{1}{8}\times 2-\frac{1}{16}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{32}\\\frac{5}{16}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{17}{32},y=\frac{5}{16}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=2,4x-10y+2=1$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\left(-10\right)y+2\times 2=2$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=8,8x-20y+4=2$$

Dragðu 8x-20y+4=2 frá 8x+12y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y+20y-4=8-2$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y+20y-4=8-2$$

Leggðu 12y saman við 20y.

$$32y-4=8-2$$

Leggðu 8 saman við -2.

$$32y-4=6$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$32y=10$$

Deildu báðum hliðum með 32.

$$y=\frac{5}{16}$$

Skiptu \frac{5}{16} út fyrir y í 4x-10y+2=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-10\times \frac{5}{16}+2=1$$

Margfaldaðu -10 sinnum \frac{5}{16}.

$$4x-\frac{25}{8}+2=1$$

Leggðu -\frac{25}{8} saman við 2.

$$4x-\frac{9}{8}=1$$

Leggðu \frac{9}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{17}{8}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{17}{32}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{17}{32},y=\frac{5}{16}$$