Leysa {l}{2x+3y=2}{4x+16y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 } \\ { 4 x + 16 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20} = 1.15$$

$$y=-\frac{1}{10}=-0.1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=2$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+2.

$$x=-\frac{3}{2}y+1$$

Settu -\frac{3y}{2}+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+16y=3.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+1\right)+16y=3$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+1.

$$-6y+4+16y=3$$

Leggðu -6y saman við 16y.

$$10y+4=3$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10y=-1$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Skiptu -\frac{1}{10} út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{10}\right)+1$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -\frac{1}{10} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{3}{20}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{3}{20}.

$$x=\frac{23}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{2\times 16-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 16-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 16-3\times 4}&\frac{2}{2\times 16-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-\frac{3}{20}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 2-\frac{3}{20}\times 3\\-\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{20}\\-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=2,4x+16y=3$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 2,2\times 4x+2\times 16y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=8,8x+32y=6$$

Dragðu 8x+32y=6 frá 8x+12y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y-32y=8-6$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-32y=8-6$$

Leggðu 12y saman við -32y.

$$-20y=8-6$$

Leggðu 8 saman við -6.

$$-20y=2$$

Deildu báðum hliðum með -20.

$$y=-\frac{1}{10}$$

Skiptu -\frac{1}{10} út fyrir y í 4x+16y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+16\left(-\frac{1}{10}\right)=3$$

Margfaldaðu 16 sinnum -\frac{1}{10}.

$$4x-\frac{8}{5}=3$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=\frac{23}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=\frac{23}{20}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{23}{20},y=-\frac{1}{10}$$