Leysa {l}{2x+3y=19}{4x+11y=53}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 19 } \\ { 4 x + 11 y = 53 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=19$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+19$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+19\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+19.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}$$

Settu \frac{-3y+19}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+11y=53.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}\right)+11y=53$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-3y+19}{2}.

$$-6y+38+11y=53$$

Leggðu -6y saman við 11y.

$$5y+38=53$$

Dragðu 38 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{19}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{19}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 3.

$$x=\frac{-9+19}{2}$$

Leggðu \frac{19}{2} saman við -\frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{2\times 11-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 11-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 11-3\times 4}&\frac{2}{2\times 11-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}&-\frac{3}{10}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{10}\times 19-\frac{3}{10}\times 53\\-\frac{2}{5}\times 19+\frac{1}{5}\times 53\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=19,4x+11y=53$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 19,2\times 4x+2\times 11y=2\times 53$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=76,8x+22y=106$$

Dragðu 8x+22y=106 frá 8x+12y=76 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y-22y=76-106$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-22y=76-106$$

Leggðu 12y saman við -22y.

$$-10y=76-106$$

Leggðu 76 saman við -106.

$$-10y=-30$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 4x+11y=53. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+11\times 3=53$$

Margfaldaðu 11 sinnum 3.

$$4x+33=53$$

Dragðu 33 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=20$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=3$$