Leysa {l}{2x+3y=12}{4x+y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 12 } \\ { 4 x + y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=12$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+12.

$$x=-\frac{3}{2}y+6$$

Settu -\frac{3y}{2}+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+y=14.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+6\right)+y=14$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+6.

$$-6y+24+y=14$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+24=14$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=-10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 2+6$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 2.

$$x=-3+6$$

Leggðu 6 saman við -3.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 12+\frac{3}{10}\times 14\\\frac{2}{5}\times 12-\frac{1}{5}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=12,4x+y=14$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 12,2\times 4x+2y=2\times 14$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=48,8x+2y=28$$

Dragðu 8x+2y=28 frá 8x+12y=48 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y-2y=48-28$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-2y=48-28$$

Leggðu 12y saman við -2y.

$$10y=48-28$$

Leggðu 48 saman við -28.

$$10y=20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 4x+y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+2=14$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=2$$