Leysa {l}{2x+3y=100}{x+y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 100 } \\ { x + y = 42 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=26$$

$$y=16$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=100$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+100$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+100\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+100.

$$x=-\frac{3}{2}y+50$$

Settu -\frac{3y}{2}+50 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=42.

$$-\frac{3}{2}y+50+y=42$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við y.

$$-\frac{1}{2}y+50=42$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-8$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=16$$

Skiptu 16 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+50. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 16+50$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 16.

$$x=-24+50$$

Leggðu 50 saman við -24.

$$x=26$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=26,y=16$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{3}{2-3}\\-\frac{1}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-100+3\times 42\\100-2\times 42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\16\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=26,y=16$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=100,x+y=42$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+3y=100,2x+2y=2\times 42$$

Einfaldaðu.

$$2x+3y=100,2x+2y=84$$

Dragðu 2x+2y=84 frá 2x+3y=100 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y-2y=100-84$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-2y=100-84$$

Leggðu 3y saman við -2y.

$$y=100-84$$

Leggðu 100 saman við -84.

$$y=16$$

Skiptu 16 út fyrir y í x+y=42. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+16=42$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=26$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=26,y=16$$