Leysa {l}{2x+3y=10}{4x+5y=42}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 10 } \\ { 4 x + 5 y = 42 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=38$$

$$y=-22$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=10$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+10$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Settu -\frac{3y}{2}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+5y=42.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)+5y=42$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20+5y=42$$

Leggðu -6y saman við 5y.

$$-y+20=42$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=22$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-22$$

Skiptu -22 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-22\right)+5$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum -22.

$$x=33+5$$

Leggðu 5 saman við 33.

$$x=38$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=38,y=-22$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-3\times 4}&-\frac{3}{2\times 5-3\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-3\times 4}&\frac{2}{2\times 5-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\42\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\times 10+\frac{3}{2}\times 42\\2\times 10-42\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-22\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=38,y=-22$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=10,4x+5y=42$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\times 5y=2\times 42$$

Einfaldaðu.

$$8x+12y=40,8x+10y=84$$

Dragðu 8x+10y=84 frá 8x+12y=40 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+12y-10y=40-84$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-10y=40-84$$

Leggðu 12y saman við -10y.

$$2y=40-84$$

Leggðu 40 saman við -84.

$$2y=-44$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-22$$

Skiptu -22 út fyrir y í 4x+5y=42. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+5\left(-22\right)=42$$

Margfaldaðu 5 sinnum -22.

$$4x-110=42$$

Leggðu 110 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=152$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=38$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=38,y=-22$$