Leysa {l}{2x+2y=0}{3x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 0 } \\ { 3 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=0$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-2\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -2y.

$$x=-y$$

Settu -y inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-y=2.

$$3\left(-1\right)y-y=2$$

Margfaldaðu 3 sinnum -y.

$$-3y-y=2$$

Leggðu -3y saman við -y.

$$-4y=2$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í x=-y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{1}{2}\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{1}{2}.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+2y=0,3x-y=2$$

Til að gera 2x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$3\times 2x+3\times 2y=0,2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$6x+6y=0,6x-2y=4$$

Dragðu 6x-2y=4 frá 6x+6y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$6x-6x+6y+2y=-4$$

Leggðu 6x saman við -6x. Liðirnir 6x og -6x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y+2y=-4$$

Leggðu 6y saman við 2y.

$$8y=-4$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Skiptu -\frac{1}{2} út fyrir y í 3x-y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-\left(-\frac{1}{2}\right)=2$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=\frac{3}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{2},y=-\frac{1}{2}$$