Leysa {l}{2x+16y=22}{4x+8y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x + 16 y = 22 } \\ { 4 x + 8 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+16y=22$$

Dragðu 16y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-16y+22$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-16y+22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -16y+22.

$$x=-8y+11$$

Settu -8y+11 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+8y=20.

$$4\left(-8y+11\right)+8y=20$$

Margfaldaðu 4 sinnum -8y+11.

$$-32y+44+8y=20$$

Leggðu -32y saman við 8y.

$$-24y+44=20$$

Dragðu 44 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-24y=-24$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í x=-8y+11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-8+11$$

Leggðu 11 saman við -8.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&16\\4&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-16\times 4}&-\frac{16}{2\times 8-16\times 4}\\-\frac{4}{2\times 8-16\times 4}&\frac{2}{2\times 8-16\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 22+\frac{1}{3}\times 20\\\frac{1}{12}\times 22-\frac{1}{24}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+16y=22,4x+8y=20$$

Til að gera 2x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2x+4\times 16y=4\times 22,2\times 4x+2\times 8y=2\times 20$$

Einfaldaðu.

$$8x+64y=88,8x+16y=40$$

Dragðu 8x+16y=40 frá 8x+64y=88 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8x-8x+64y-16y=88-40$$

Leggðu 8x saman við -8x. Liðirnir 8x og -8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$64y-16y=88-40$$

Leggðu 64y saman við -16y.

$$48y=88-40$$

Leggðu 88 saman við -40.

$$48y=48$$

Deildu báðum hliðum með 48.

$$y=1$$

Skiptu 1 út fyrir y í 4x+8y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+8=20$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=12$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=1$$