Leysa {l}{2n-3m=1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n - 3 m = 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir n, m

$$n=2$$

$$m=1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu n með því að einangra n vinstra megin við samasemmerkið.

$$2n-3m=1$$

Leggðu 3m saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2n=3m+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$n=\frac{1}{2}\left(3m+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3m+1.

$$n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3m+1}{2} inn fyrir n í hinni jöfnunni, n+m=3.

$$\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}+m=3$$

Leggðu \frac{3m}{2} saman við m.

$$\frac{5}{2}m+\frac{1}{2}=3$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{5}{2}m=\frac{5}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$m=1$$

Skiptu 1 út fyrir m í n=\frac{3}{2}m+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$n=\frac{3+1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við \frac{3}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$n=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=2,m=1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna n og m.

$$n=2,m=1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2n-3m=1,n+m=3$$

Til að gera 2n og n jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2n-3m=1,2n+2m=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$2n-3m=1,2n+2m=6$$

Dragðu 2n+2m=6 frá 2n-3m=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2n-2n-3m-2m=1-6$$

Leggðu 2n saman við -2n. Liðirnir 2n og -2n núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3m-2m=1-6$$

Leggðu -3m saman við -2m.

$$-5m=1-6$$

Leggðu 1 saman við -6.

$$-5m=-5$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$m=1$$

Skiptu 1 út fyrir m í n+m=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$n+1=3$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$n=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=2,m=1$$