Leysa {l}{2n+3y=1}{4n+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 n + 3 y = 1 } \\ { 4 n + y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir n, y

$$y=0$$

$$n=\frac{1}{2}=0.5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2n+3y=1,4n+y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu n með því að einangra n vinstra megin við samasemmerkið.

$$2n+3y=1$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2n=-3y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$n=\frac{1}{2}\left(-3y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+1.

$$n=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}$$

Settu \frac{-3y+1}{2} inn fyrir n í hinni jöfnunni, 4n+y=2.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=2$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{-3y+1}{2}.

$$-6y+2+y=2$$

Leggðu -6y saman við y.

$$-5y+2=2$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5y=0$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í n=-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$n=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=\frac{1}{2},y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2n+3y=1,4n+y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\times 4}&-\frac{3}{2-3\times 4}\\-\frac{4}{2-3\times 4}&\frac{2}{2-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}+\frac{3}{10}\times 2\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}n\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna n og y.

$$n=\frac{1}{2},y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2n+3y=1,4n+y=2$$

Til að gera 2n og 4n jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$4\times 2n+4\times 3y=4,2\times 4n+2y=2\times 2$$

Einfaldaðu.

$$8n+12y=4,8n+2y=4$$

Dragðu 8n+2y=4 frá 8n+12y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$8n-8n+12y-2y=4-4$$

Leggðu 8n saman við -8n. Liðirnir 8n og -8n núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12y-2y=4-4$$

Leggðu 12y saman við -2y.

$$10y=4-4$$

Leggðu 4 saman við -4.

$$10y=0$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í 4n+y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst n strax.

$$4n=2$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$n=\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$n=\frac{1}{2},y=0$$