Leysa {l}{2m-3n=-1}{m+n=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = - 1 } \\ { m + n = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1.6$$

$$n = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$2m-3n=-1$$

Leggðu 3n saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2m=3n-1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n-1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 3n-1.

$$m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$$

Settu \frac{3n-1}{2} inn fyrir m í hinni jöfnunni, m+n=3.

$$\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}+n=3$$

Leggðu \frac{3n}{2} saman við n.

$$\frac{5}{2}n-\frac{1}{2}=3$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}n=\frac{7}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=\frac{7}{5}$$

Skiptu \frac{7}{5} út fyrir n í m=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=\frac{3}{2}\times \frac{7}{5}-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu \frac{3}{2} sinnum \frac{7}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=\frac{21}{10}-\frac{1}{2}$$

Leggðu -\frac{1}{2} saman við \frac{21}{10} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{3}{5}\times 3\\-\frac{1}{5}\left(-1\right)+\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2m-3n=-1,m+n=3$$

Til að gera 2m og m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2m-3n=-1,2m+2n=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$2m-3n=-1,2m+2n=6$$

Dragðu 2m+2n=6 frá 2m-3n=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2m-2m-3n-2n=-1-6$$

Leggðu 2m saman við -2m. Liðirnir 2m og -2m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-3n-2n=-1-6$$

Leggðu -3n saman við -2n.

$$-5n=-1-6$$

Leggðu -1 saman við -6.

$$-5n=-7$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$n=\frac{7}{5}$$

Skiptu \frac{7}{5} út fyrir n í m+n=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m+\frac{7}{5}=3$$

Dragðu \frac{7}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$m=\frac{8}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{8}{5},n=\frac{7}{5}$$