Leysa {l}{2m+3n=22}{m-2n=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 m + 3 n = 22 } \\ { m - 2 n = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m = \frac{62}{7} = 8\frac{6}{7} \approx 8.857142857$$

$$n = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$2m+3n=22$$

Dragðu 3n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2m=-3n+22$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$m=\frac{1}{2}\left(-3n+22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3n+22.

$$m=-\frac{3}{2}n+11$$

Settu -\frac{3n}{2}+11 inn fyrir m í hinni jöfnunni, m-2n=6.

$$-\frac{3}{2}n+11-2n=6$$

Leggðu -\frac{3n}{2} saman við -2n.

$$-\frac{7}{2}n+11=6$$

Dragðu 11 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{2}n=-5$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$n=\frac{10}{7}$$

Skiptu \frac{10}{7} út fyrir n í m=-\frac{3}{2}n+11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{3}{2}\times \frac{10}{7}+11$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum \frac{10}{7} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$m=-\frac{15}{7}+11$$

Leggðu 11 saman við -\frac{15}{7}.

$$m=\frac{62}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 22+\frac{3}{7}\times 6\\\frac{1}{7}\times 22-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{62}{7}\\\frac{10}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2m+3n=22,m-2n=6$$

Til að gera 2m og m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2m+3n=22,2m+2\left(-2\right)n=2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$2m+3n=22,2m-4n=12$$

Dragðu 2m-4n=12 frá 2m+3n=22 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2m-2m+3n+4n=22-12$$

Leggðu 2m saman við -2m. Liðirnir 2m og -2m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3n+4n=22-12$$

Leggðu 3n saman við 4n.

$$7n=22-12$$

Leggðu 22 saman við -12.

$$7n=10$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$n=\frac{10}{7}$$

Skiptu \frac{10}{7} út fyrir n í m-2n=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m-2\times \frac{10}{7}=6$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{10}{7}.

$$m-\frac{20}{7}=6$$

Leggðu \frac{20}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$m=\frac{62}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=\frac{62}{7},n=\frac{10}{7}$$