Leysa {l}{2bx+ay=2ab}{bx-ay=4ab}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 b x + a y = 2 a b } \\ { b x - a y = 4 a b } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2bx+ay=2ab$$

Dragðu ay frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Deildu báðum hliðum með 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2b} sinnum a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Settu a-\frac{ay}{2b} inn fyrir x í hinni jöfnunni, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Margfaldaðu b sinnum a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Leggðu -\frac{ay}{2} saman við -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Dragðu ba frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Skiptu -2b út fyrir y í x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Margfaldaðu -\frac{a}{2b} sinnum -2b.

$$x=a+a$$

Leggðu a saman við a.

$$x=2a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2a,y=-2b$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2a,y=-2b$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Til að gera 2bx og bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Einfaldaðu.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Dragðu 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} frá 2b^{2}x+aby=2ab^{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu 2b^{2}x saman við -2b^{2}x. Liðirnir 2b^{2}x og -2b^{2}x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu bay saman við 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu 2ab^{2} saman við -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Deildu báðum hliðum með 3ba.

$$y=-2b$$

Skiptu -2b út fyrir y í bx+\left(-a\right)y=4ab. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Margfaldaðu -a sinnum -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Dragðu 2ba frá báðum hliðum jöfnunar.

$$bx=2ab$$

Deildu báðum hliðum með b.

$$x=2a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2a,y=-2b$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2a\text{, }y=-2b\text{, }&\text{unconditionally}\\x=0\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&b=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2bx+ay=2ab$$

Dragðu ay frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2bx=\left(-a\right)y+2ab$$

Deildu báðum hliðum með 2b.

$$x=\frac{1}{2b}\left(\left(-a\right)y+2ab\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2b} sinnum a\left(-y+2b\right).

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a$$

Settu a-\frac{ay}{2b} inn fyrir x í hinni jöfnunni, bx+\left(-a\right)y=4ab.

$$b\left(\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a\right)+\left(-a\right)y=4ab$$

Margfaldaðu b sinnum a-\frac{ay}{2b}.

$$\left(-\frac{a}{2}\right)y+ab+\left(-a\right)y=4ab$$

Leggðu -\frac{ay}{2} saman við -ay.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y+ab=4ab$$

Dragðu ba frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{3a}{2}\right)y=3ab$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{3a}{2}.

$$y=-2b$$

Skiptu -2b út fyrir y í x=\left(-\frac{a}{2b}\right)y+a. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{a}{2b}\right)\left(-2b\right)+a$$

Margfaldaðu -\frac{a}{2b} sinnum -2b.

$$x=a+a$$

Leggðu a saman við a.

$$x=2a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2a,y=-2b$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2b&a\\b&-a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}&-\frac{a}{2b\left(-a\right)-ab}\\-\frac{b}{2b\left(-a\right)-ab}&\frac{2b}{2b\left(-a\right)-ab}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}&\frac{1}{3b}\\\frac{1}{3a}&-\frac{2}{3a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2ab\\4ab\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3b}\times 2ab+\frac{1}{3b}\times 4ab\\\frac{1}{3a}\times 2ab+\left(-\frac{2}{3a}\right)\times 4ab\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2a\\-2b\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2a,y=-2b$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2bx+ay=2ab,bx+\left(-a\right)y=4ab$$

Til að gera 2bx og bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2b.

$$b\times 2bx+bay=b\times 2ab,2bbx+2b\left(-a\right)y=2b\times 4ab$$

Einfaldaðu.

$$2b^{2}x+aby=2ab^{2},2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2}$$

Dragðu 2b^{2}x+\left(-2ab\right)y=8ab^{2} frá 2b^{2}x+aby=2ab^{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2b^{2}x+\left(-2b^{2}\right)x+aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu 2b^{2}x saman við -2b^{2}x. Liðirnir 2b^{2}x og -2b^{2}x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$aby+2aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu bay saman við 2bay.

$$3aby=2ab^{2}-8ab^{2}$$

Leggðu 2ab^{2} saman við -8ab^{2}.

$$3aby=-6ab^{2}$$

Deildu báðum hliðum með 3ba.

$$y=-2b$$

Skiptu -2b út fyrir y í bx+\left(-a\right)y=4ab. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$bx+\left(-a\right)\left(-2b\right)=4ab$$

Margfaldaðu -a sinnum -2b.

$$bx+2ab=4ab$$

Dragðu 2ba frá báðum hliðum jöfnunar.

$$bx=2ab$$

Deildu báðum hliðum með b.

$$x=2a$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2a,y=-2b$$