Leysa {l}{2ax+by=14}{-bx+ay=-19}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - b x + a y = - 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq -\frac{\sqrt{2}ib}{2}\text{ and }a\neq \frac{\sqrt{2}ib}{2}$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2ax+by=14$$

Dragðu by frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Deildu báðum hliðum með 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2a} sinnum -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Settu \frac{-by+14}{2a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \left(-b\right)x+ay=-19.

$$\left(-b\right)\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+ay=-19$$

Margfaldaðu -b sinnum \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b^{2}}{2a}y-\frac{7b}{a}+ay=-19$$

Leggðu \frac{b^{2}y}{2a} saman við ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y-\frac{7b}{a}=-19$$

Leggðu \frac{7b}{a} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y=\frac{7b}{a}-19$$

Deildu báðum hliðum með a+\frac{b^{2}}{2a}.

$$y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}} út fyrir y í x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}+\frac{7}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{b}{2a} sinnum \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}.

$$x=-\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)}+\frac{7}{a}$$

Leggðu \frac{7}{a} saman við -\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2aa-b\left(-b\right)}&-\frac{b}{2aa-b\left(-b\right)}\\-\frac{-b}{2aa-b\left(-b\right)}&\frac{2a}{2aa-b\left(-b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}&-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}&\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\left(-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\right)\left(-19\right)\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Til að gera 2ax og -bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2a.

$$\left(-b\right)\times 2ax+\left(-b\right)by=\left(-b\right)\times 14,2a\left(-b\right)x+2aay=2a\left(-19\right)$$

Einfaldaðu.

$$\left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b,\left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a$$

Dragðu \left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a frá \left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\left(-2ab\right)x+2abx+\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -2bax saman við 2bax. Liðirnir -2bax og 2bax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -b^{2}y saman við -2a^{2}y.

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -14b saman við 38a.

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=38a-14b$$

Deildu báðum hliðum með -b^{2}-2a^{2}.

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} út fyrir y í \left(-b\right)x+ay=-19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\left(-b\right)x+a\left(-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}\right)=-19$$

Margfaldaðu a sinnum -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}}.

$$\left(-b\right)x-\frac{2a\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}=-19$$

Leggðu \frac{2a\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(-b\right)x=-\frac{b\left(14a+19b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Deildu báðum hliðum með -b.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2ax+by=14$$

Dragðu by frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Deildu báðum hliðum með 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2a} sinnum -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Settu \frac{-by+14}{2a} inn fyrir x í hinni jöfnunni, \left(-b\right)x+ay=-19.

$$\left(-b\right)\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+ay=-19$$

Margfaldaðu -b sinnum \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b^{2}}{2a}y-\frac{7b}{a}+ay=-19$$

Leggðu \frac{b^{2}y}{2a} saman við ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y-\frac{7b}{a}=-19$$

Leggðu \frac{7b}{a} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(\frac{b^{2}}{2a}+a\right)y=\frac{7b}{a}-19$$

Deildu báðum hliðum með a+\frac{b^{2}}{2a}.

$$y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}} út fyrir y í x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}+\frac{7}{a}$$

Margfaldaðu -\frac{b}{2a} sinnum \frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}.

$$x=-\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)}+\frac{7}{a}$$

Leggðu \frac{7}{a} saman við -\frac{b\left(7b-19a\right)}{a\left(2a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2aa-b\left(-b\right)}&-\frac{b}{2aa-b\left(-b\right)}\\-\frac{-b}{2aa-b\left(-b\right)}&\frac{2a}{2aa-b\left(-b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}&-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}&\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\left(-\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\right)\left(-19\right)\\\frac{b}{2a^{2}+b^{2}}\times 14+\frac{2a}{2a^{2}+b^{2}}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}\\\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=\frac{2\left(7b-19a\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2ax+by=14,\left(-b\right)x+ay=-19$$

Til að gera 2ax og -bx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -b og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2a.

$$\left(-b\right)\times 2ax+\left(-b\right)by=\left(-b\right)\times 14,2a\left(-b\right)x+2aay=2a\left(-19\right)$$

Einfaldaðu.

$$\left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b,\left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a$$

Dragðu \left(-2ab\right)x+2a^{2}y=-38a frá \left(-2ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y=-14b með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\left(-2ab\right)x+2abx+\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -2bax saman við 2bax. Liðirnir -2bax og 2bax núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -b^{2}y saman við -2a^{2}y.

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=-14b+38a$$

Leggðu -14b saman við 38a.

$$\left(-2a^{2}-b^{2}\right)y=38a-14b$$

Deildu báðum hliðum með -b^{2}-2a^{2}.

$$y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Skiptu -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} út fyrir y í \left(-b\right)x+ay=-19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$\left(-b\right)x+a\left(-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}\right)=-19$$

Margfaldaðu a sinnum -\frac{2\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}}.

$$\left(-b\right)x-\frac{2a\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}=-19$$

Leggðu \frac{2a\left(-7b+19a\right)}{b^{2}+2a^{2}} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(-b\right)x=-\frac{b\left(14a+19b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$

Deildu báðum hliðum með -b.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{14a+19b}{2a^{2}+b^{2}},y=-\frac{2\left(19a-7b\right)}{2a^{2}+b^{2}}$$