Leysa {l}{2a+b=5}{a+b=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + b = 5 } \\ { a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=3$$

$$b=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$2a+b=5$$

Dragðu b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=-b+5$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-b+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -b+5.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}$$

Settu \frac{-b+5}{2} inn fyrir a í hinni jöfnunni, a+b=2.

$$-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}+b=2$$

Leggðu -\frac{b}{2} saman við b.

$$\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}=2$$

Dragðu \frac{5}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}b=-\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$b=-1$$

Skiptu -1 út fyrir b í a=-\frac{1}{2}b+\frac{5}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -1.

$$a=\frac{1+5}{2}$$

Leggðu \frac{5}{2} saman við \frac{1}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-1}&-\frac{1}{2-1}\\-\frac{1}{2-1}&\frac{2}{2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5-2\\-5+2\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=3,b=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2a+b=5,a+b=2$$

Dragðu a+b=2 frá 2a+b=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2a-a+b-b=5-2$$

Leggðu b saman við -b. Liðirnir b og -b núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2a-a=5-2$$

Leggðu 2a saman við -a.

$$a=5-2$$

Leggðu 5 saman við -2.

$$a=3$$

Skiptu 3 út fyrir a í a+b=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst b strax.

$$3+b=2$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$b=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=3,b=-1$$