Leysa {l}{2a+6d=0}{a+4d=21}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 a + 6 d = 0 } \\ { a + 4 d = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, d

$$a=-63$$

$$d=21$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$2a+6d=0$$

Dragðu 6d frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2a=-6d$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$a=\frac{1}{2}\left(-6\right)d$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -6d.

$$a=-3d$$

Settu -3d inn fyrir a í hinni jöfnunni, a+4d=21.

$$-3d+4d=21$$

Leggðu -3d saman við 4d.

$$d=21$$

Skiptu 21 út fyrir d í a=-3d. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-3\times 21$$

Margfaldaðu -3 sinnum 21.

$$a=-63$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-63,d=21$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&6\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-6}&-\frac{6}{2\times 4-6}\\-\frac{1}{2\times 4-6}&\frac{2}{2\times 4-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 21\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\d\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-63\\21\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og d.

$$a=-63,d=21$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2a+6d=0,a+4d=21$$

Til að gera 2a og a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2a+6d=0,2a+2\times 4d=2\times 21$$

Einfaldaðu.

$$2a+6d=0,2a+8d=42$$

Dragðu 2a+8d=42 frá 2a+6d=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2a-2a+6d-8d=-42$$

Leggðu 2a saman við -2a. Liðirnir 2a og -2a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6d-8d=-42$$

Leggðu 6d saman við -8d.

$$-2d=-42$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$d=21$$

Skiptu 21 út fyrir d í a+4d=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a+4\times 21=21$$

Margfaldaðu 4 sinnum 21.

$$a+84=21$$

Dragðu 84 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-63$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-63,d=21$$