Leysa {l}{2X-2+4Y=1/2}{8(Y-1/2)=9(X+1)-4}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 X - 2 + 4 Y = \frac { 1 } { 2 } } \\ { 8 ( Y - \frac { 1 } { 2 } ) = 9 ( X + 1 ) - 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir X, Y

$$X=-\frac{4}{13}\approx -0.307692308$$

$$Y=\frac{81}{104}\approx 0.778846154$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2 við báðar hliðar.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Leggðu saman \frac{1}{2} og 2 til að fá \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 8 með Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 9 með X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Dragðu 4 frá 9 til að fá út 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Dragðu 9X frá báðum hliðum.

$$8Y-4-9X=5$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$8Y-9X=5+4$$

Leggðu saman 5 og 4 til að fá 9.

$$8Y-9X=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu X með því að einangra X vinstra megin við samasemmerkið.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Dragðu 4Y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2X=-4Y+\frac{5}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$X=\frac{1}{2}\left(-4Y+\frac{5}{2}\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -4Y+\frac{5}{2}.

$$X=-2Y+\frac{5}{4}$$

Settu -2Y+\frac{5}{4} inn fyrir X í hinni jöfnunni, -9X+8Y=9.

$$-9\left(-2Y+\frac{5}{4}\right)+8Y=9$$

Margfaldaðu -9 sinnum -2Y+\frac{5}{4}.

$$18Y-\frac{45}{4}+8Y=9$$

Leggðu 18Y saman við 8Y.

$$26Y-\frac{45}{4}=9$$

Leggðu \frac{45}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$26Y=\frac{81}{4}$$

Deildu báðum hliðum með 26.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Skiptu \frac{81}{104} út fyrir Y í X=-2Y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst X strax.

$$X=-2\times \frac{81}{104}+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{81}{104}.

$$X=-\frac{81}{52}+\frac{5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við -\frac{81}{52} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2 við báðar hliðar.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Leggðu saman \frac{1}{2} og 2 til að fá \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 8 með Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 9 með X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Dragðu 4 frá 9 til að fá út 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Dragðu 9X frá báðum hliðum.

$$8Y-4-9X=5$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$8Y-9X=5+4$$

Leggðu saman 5 og 4 til að fá 9.

$$8Y-9X=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\-9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{2\times 8-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{2\times 8-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{2\times 8-4\left(-9\right)}&\frac{2}{2\times 8-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\\frac{9}{52}&\frac{1}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times \frac{5}{2}-\frac{1}{13}\times 9\\\frac{9}{52}\times \frac{5}{2}+\frac{1}{26}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}X\\Y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\\\frac{81}{104}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna X og Y.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2 við báðar hliðar.

$$2X+4Y=\frac{1}{2}+2$$

Leggðu saman \frac{1}{2} og 2 til að fá \frac{5}{2}.

$$2X+4Y=\frac{5}{2}$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 8 með Y-\frac{1}{2}.

$$8Y-4=9\left(X+1\right)-4$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 9 með X+1.

$$8Y-4=9X+9-4$$

Dragðu 4 frá 9 til að fá út 5.

$$8Y-4=9X+5$$

Dragðu 9X frá báðum hliðum.

$$8Y-4-9X=5$$

Bættu 4 við báðar hliðar.

$$8Y-9X=5+4$$

Leggðu saman 5 og 4 til að fá 9.

$$8Y-9X=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2X+4Y=\frac{5}{2},-9X+8Y=9$$

Til að gera 2X og -9X jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$-9\times 2X-9\times 4Y=-9\times \frac{5}{2},2\left(-9\right)X+2\times 8Y=2\times 9$$

Einfaldaðu.

$$-18X-36Y=-\frac{45}{2},-18X+16Y=18$$

Dragðu -18X+16Y=18 frá -18X-36Y=-\frac{45}{2} með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-18X+18X-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Leggðu -18X saman við 18X. Liðirnir -18X og 18X núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-36Y-16Y=-\frac{45}{2}-18$$

Leggðu -36Y saman við -16Y.

$$-52Y=-\frac{45}{2}-18$$

Leggðu -\frac{45}{2} saman við -18.

$$-52Y=-\frac{81}{2}$$

Deildu báðum hliðum með -52.

$$Y=\frac{81}{104}$$

Skiptu \frac{81}{104} út fyrir Y í -9X+8Y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst X strax.

$$-9X+8\times \frac{81}{104}=9$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{81}{104}.

$$-9X+\frac{81}{13}=9$$

Dragðu \frac{81}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9X=\frac{36}{13}$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$X=-\frac{4}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$X=-\frac{4}{13},Y=\frac{81}{104}$$