Leysa {l}{2+3x-y=20}{x+2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 2 + 3 x - y = 20 } \\ { x + 2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=7$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x-y+2=20$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x-y=18$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=y+18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum y+18.

$$x=\frac{1}{3}y+6$$

Settu \frac{y}{3}+6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=13.

$$\frac{1}{3}y+6+2y=13$$

Leggðu \frac{y}{3} saman við 2y.

$$\frac{7}{3}y+6=13$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{3}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{1}{3}y+6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{3}\times 3+6$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum 3.

$$x=1+6$$

Leggðu 6 saman við 1.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 18+\frac{1}{7}\times 13\\-\frac{1}{7}\times 18+\frac{3}{7}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=7,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x-y+2=20,x+2y=13$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x-y+2=20,3x+3\times 2y=3\times 13$$

Einfaldaðu.

$$3x-y+2=20,3x+6y=39$$

Dragðu 3x+6y=39 frá 3x-y+2=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x-y-6y+2=20-39$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-y-6y+2=20-39$$

Leggðu -y saman við -6y.

$$-7y+2=20-39$$

Leggðu 20 saman við -39.

$$-7y+2=-19$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-21$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x+2y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times 3=13$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x+6=13$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=7,y=3$$