Leysa {l}{18=1200x+1600y}{17=600x+2400y}

$$\left. \begin{array} { l } { 18 = 1200 x + 1600 y } \\ { 17 = 600 x + 2400 y } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{1}{120}\approx 0.008333333$$

$$y=\frac{1}{200}=0.005$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$1200x+1600y=18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$600x+2400y=17$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$1200x+1600y=18$$

Dragðu 1600y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1200x=-1600y+18$$

Deildu báðum hliðum með 1200.

$$x=\frac{1}{1200}\left(-1600y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{1200} sinnum -1600y+18.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}$$

Settu -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 600x+2400y=17.

$$600\left(-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}\right)+2400y=17$$

Margfaldaðu 600 sinnum -\frac{4y}{3}+\frac{3}{200}.

$$-800y+9+2400y=17$$

Leggðu -800y saman við 2400y.

$$1600y+9=17$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1600y=8$$

Deildu báðum hliðum með 1600.

$$y=\frac{1}{200}$$

Skiptu \frac{1}{200} út fyrir y í x=-\frac{4}{3}y+\frac{3}{200}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{200}+\frac{3}{200}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{3} sinnum \frac{1}{200} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1}{150}+\frac{3}{200}$$

Leggðu \frac{3}{200} saman við -\frac{1}{150} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{1}{120}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$1200x+1600y=18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$600x+2400y=17$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1200&1600\\600&2400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2400}{1200\times 2400-1600\times 600}&-\frac{1600}{1200\times 2400-1600\times 600}\\-\frac{600}{1200\times 2400-1600\times 600}&\frac{1200}{1200\times 2400-1600\times 600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}&-\frac{1}{1200}\\-\frac{1}{3200}&\frac{1}{1600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{800}\times 18-\frac{1}{1200}\times 17\\-\frac{1}{3200}\times 18+\frac{1}{1600}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{120}\\\frac{1}{200}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$1200x+1600y=18$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Skipta um hliðar svo allir liðir breytunnar séu vinstra megin.

$$600x+2400y=17$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$1200x+1600y=18,600x+2400y=17$$

Til að gera 1200x og 600x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 600 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1200.

$$600\times 1200x+600\times 1600y=600\times 18,1200\times 600x+1200\times 2400y=1200\times 17$$

Einfaldaðu.

$$720000x+960000y=10800,720000x+2880000y=20400$$

Dragðu 720000x+2880000y=20400 frá 720000x+960000y=10800 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$720000x-720000x+960000y-2880000y=10800-20400$$

Leggðu 720000x saman við -720000x. Liðirnir 720000x og -720000x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$960000y-2880000y=10800-20400$$

Leggðu 960000y saman við -2880000y.

$$-1920000y=10800-20400$$

Leggðu 10800 saman við -20400.

$$-1920000y=-9600$$

Deildu báðum hliðum með -1920000.

$$y=\frac{1}{200}$$

Skiptu \frac{1}{200} út fyrir y í 600x+2400y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$600x+2400\times \frac{1}{200}=17$$

Margfaldaðu 2400 sinnum \frac{1}{200}.

$$600x+12=17$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$600x=5$$

Deildu báðum hliðum með 600.

$$x=\frac{1}{120}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{1}{120},y=\frac{1}{200}$$