Leysa {l}{16x-7y=-7}{20x-19y=-6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 7 y = - 7 } \\ { 20 x - 19 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{91}{164}\approx -0.554878049$$

$$y=-\frac{11}{41}\approx -0.268292683$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$16x-7y=-7$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$16x=7y-7$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(7y-7\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{16} sinnum -7+7y.

$$x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}$$

Settu \frac{-7+7y}{16} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 20x-19y=-6.

$$20\left(\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}\right)-19y=-6$$

Margfaldaðu 20 sinnum \frac{-7+7y}{16}.

$$\frac{35}{4}y-\frac{35}{4}-19y=-6$$

Leggðu \frac{35y}{4} saman við -19y.

$$-\frac{41}{4}y-\frac{35}{4}=-6$$

Leggðu \frac{35}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{41}{4}y=\frac{11}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{41}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Skiptu -\frac{11}{41} út fyrir y í x=\frac{7}{16}y-\frac{7}{16}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{16}\left(-\frac{11}{41}\right)-\frac{7}{16}$$

Margfaldaðu \frac{7}{16} sinnum -\frac{11}{41} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{77}{656}-\frac{7}{16}$$

Leggðu -\frac{7}{16} saman við -\frac{77}{656} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-7\\20&-19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&-\frac{-7}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\\-\frac{20}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}&\frac{16}{16\left(-19\right)-\left(-7\times 20\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}&-\frac{7}{164}\\\frac{5}{41}&-\frac{4}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\-6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{164}\left(-7\right)-\frac{7}{164}\left(-6\right)\\\frac{5}{41}\left(-7\right)-\frac{4}{41}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{91}{164}\\-\frac{11}{41}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$16x-7y=-7,20x-19y=-6$$

Til að gera 16x og 20x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 20 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 16.

$$20\times 16x+20\left(-7\right)y=20\left(-7\right),16\times 20x+16\left(-19\right)y=16\left(-6\right)$$

Einfaldaðu.

$$320x-140y=-140,320x-304y=-96$$

Dragðu 320x-304y=-96 frá 320x-140y=-140 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$320x-320x-140y+304y=-140+96$$

Leggðu 320x saman við -320x. Liðirnir 320x og -320x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-140y+304y=-140+96$$

Leggðu -140y saman við 304y.

$$164y=-140+96$$

Leggðu -140 saman við 96.

$$164y=-44$$

Deildu báðum hliðum með 164.

$$y=-\frac{11}{41}$$

Skiptu -\frac{11}{41} út fyrir y í 20x-19y=-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$20x-19\left(-\frac{11}{41}\right)=-6$$

Margfaldaðu -19 sinnum -\frac{11}{41}.

$$20x+\frac{209}{41}=-6$$

Dragðu \frac{209}{41} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$20x=-\frac{455}{41}$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$x=-\frac{91}{164}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{91}{164},y=-\frac{11}{41}$$