Leysa {l}{16x-10y=10}{-8x-6y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 16 x - 10 y = 10 } \\ { - 8 x - 6 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$16x-10y=10$$

Leggðu 10y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$16x=10y+10$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$x=\frac{1}{16}\left(10y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{16} sinnum 10+10y.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}$$

Settu \frac{5+5y}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x-6y=6.

$$-8\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}\right)-6y=6$$

Margfaldaðu -8 sinnum \frac{5+5y}{8}.

$$-5y-5-6y=6$$

Leggðu -5y saman við -6y.

$$-11y-5=6$$

Leggðu 5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-11y=11$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{8}\left(-1\right)+\frac{5}{8}$$

Margfaldaðu \frac{5}{8} sinnum -1.

$$x=\frac{-5+5}{8}$$

Leggðu \frac{5}{8} saman við -\frac{5}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&-10\\-8&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&-\frac{-10}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}&\frac{16}{16\left(-6\right)-\left(-10\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}&-\frac{5}{88}\\-\frac{1}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{88}\times 10-\frac{5}{88}\times 6\\-\frac{1}{22}\times 10-\frac{1}{11}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$16x-10y=10,-8x-6y=6$$

Til að gera 16x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 16.

$$-8\times 16x-8\left(-10\right)y=-8\times 10,16\left(-8\right)x+16\left(-6\right)y=16\times 6$$

Einfaldaðu.

$$-128x+80y=-80,-128x-96y=96$$

Dragðu -128x-96y=96 frá -128x+80y=-80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-128x+128x+80y+96y=-80-96$$

Leggðu -128x saman við 128x. Liðirnir -128x og 128x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$80y+96y=-80-96$$

Leggðu 80y saman við 96y.

$$176y=-80-96$$

Leggðu -80 saman við -96.

$$176y=-176$$

Deildu báðum hliðum með 176.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í -8x-6y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x-6\left(-1\right)=6$$

Margfaldaðu -6 sinnum -1.

$$-8x+6=6$$

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=0$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-1$$