Leysa {l}{15x+8y=6}{25x+12y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 8 y = 6 } \\ { 25 x + 12 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$15x+8y=6$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15x=-8y+6$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-8y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{15} sinnum -8y+6.

$$x=-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}$$

Settu -\frac{8y}{15}+\frac{2}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 25x+12y=14.

$$25\left(-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}\right)+12y=14$$

Margfaldaðu 25 sinnum -\frac{8y}{15}+\frac{2}{5}.

$$-\frac{40}{3}y+10+12y=14$$

Leggðu -\frac{40y}{3} saman við 12y.

$$-\frac{4}{3}y+10=14$$

Dragðu 10 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4}{3}y=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=-\frac{8}{15}y+\frac{2}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{8}{15}\left(-3\right)+\frac{2}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{8}{15} sinnum -3.

$$x=\frac{8+2}{5}$$

Leggðu \frac{2}{5} saman við \frac{8}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&8\\25&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{15\times 12-8\times 25}&-\frac{8}{15\times 12-8\times 25}\\-\frac{25}{15\times 12-8\times 25}&\frac{15}{15\times 12-8\times 25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 6+\frac{2}{5}\times 14\\\frac{5}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$15x+8y=6,25x+12y=14$$

Til að gera 15x og 25x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 25 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 15.

$$25\times 15x+25\times 8y=25\times 6,15\times 25x+15\times 12y=15\times 14$$

Einfaldaðu.

$$375x+200y=150,375x+180y=210$$

Dragðu 375x+180y=210 frá 375x+200y=150 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$375x-375x+200y-180y=150-210$$

Leggðu 375x saman við -375x. Liðirnir 375x og -375x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$200y-180y=150-210$$

Leggðu 200y saman við -180y.

$$20y=150-210$$

Leggðu 150 saman við -210.

$$20y=-60$$

Deildu báðum hliðum með 20.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í 25x+12y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$25x+12\left(-3\right)=14$$

Margfaldaðu 12 sinnum -3.

$$25x-36=14$$

Leggðu 36 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$25x=50$$

Deildu báðum hliðum með 25.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-3$$