Leysa {l}{15x+107y=1}{71x+179y=-287}

$$\left. \begin{array} { l } { 15 x + 107 y = 1 } \\ { 71 x + 179 y = - 287 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{3861}{614} = -6\frac{177}{614} \approx -6.288273616$$

$$y=\frac{547}{614}\approx 0.890879479$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$15x+107y=1$$

Dragðu 107y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$15x=-107y+1$$

Deildu báðum hliðum með 15.

$$x=\frac{1}{15}\left(-107y+1\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{15} sinnum -107y+1.

$$x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}$$

Settu \frac{-107y+1}{15} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 71x+179y=-287.

$$71\left(-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}\right)+179y=-287$$

Margfaldaðu 71 sinnum \frac{-107y+1}{15}.

$$-\frac{7597}{15}y+\frac{71}{15}+179y=-287$$

Leggðu -\frac{7597y}{15} saman við 179y.

$$-\frac{4912}{15}y+\frac{71}{15}=-287$$

Dragðu \frac{71}{15} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{4912}{15}y=-\frac{4376}{15}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{4912}{15}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{547}{614}$$

Skiptu \frac{547}{614} út fyrir y í x=-\frac{107}{15}y+\frac{1}{15}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{107}{15}\times \frac{547}{614}+\frac{1}{15}$$

Margfaldaðu -\frac{107}{15} sinnum \frac{547}{614} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{58529}{9210}+\frac{1}{15}$$

Leggðu \frac{1}{15} saman við -\frac{58529}{9210} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&107\\71&179\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{179}{15\times 179-107\times 71}&-\frac{107}{15\times 179-107\times 71}\\-\frac{71}{15\times 179-107\times 71}&\frac{15}{15\times 179-107\times 71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}&\frac{107}{4912}\\\frac{71}{4912}&-\frac{15}{4912}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-287\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{179}{4912}+\frac{107}{4912}\left(-287\right)\\\frac{71}{4912}-\frac{15}{4912}\left(-287\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3861}{614}\\\frac{547}{614}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$15x+107y=1,71x+179y=-287$$

Til að gera 15x og 71x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 71 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 15.

$$71\times 15x+71\times 107y=71,15\times 71x+15\times 179y=15\left(-287\right)$$

Einfaldaðu.

$$1065x+7597y=71,1065x+2685y=-4305$$

Dragðu 1065x+2685y=-4305 frá 1065x+7597y=71 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$1065x-1065x+7597y-2685y=71+4305$$

Leggðu 1065x saman við -1065x. Liðirnir 1065x og -1065x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$7597y-2685y=71+4305$$

Leggðu 7597y saman við -2685y.

$$4912y=71+4305$$

Leggðu 71 saman við 4305.

$$4912y=4376$$

Deildu báðum hliðum með 4912.

$$y=\frac{547}{614}$$

Skiptu \frac{547}{614} út fyrir y í 71x+179y=-287. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$71x+179\times \frac{547}{614}=-287$$

Margfaldaðu 179 sinnum \frac{547}{614}.

$$71x+\frac{97913}{614}=-287$$

Dragðu \frac{97913}{614} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$71x=-\frac{274131}{614}$$

Deildu báðum hliðum með 71.

$$x=-\frac{3861}{614}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{3861}{614},y=\frac{547}{614}$$