Leysa {l}{12x+4y=6}{9x+16y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 x + 4 y = 6 } \\ { 9 x + 16 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{16}{39}\approx 0.41025641$$

$$y=\frac{7}{26}\approx 0.269230769$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$12x+4y=6$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12x=-4y+6$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$x=\frac{1}{12}\left(-4y+6\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12} sinnum -4y+6.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}$$

Settu -\frac{y}{3}+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 9x+16y=8.

$$9\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}\right)+16y=8$$

Margfaldaðu 9 sinnum -\frac{y}{3}+\frac{1}{2}.

$$-3y+\frac{9}{2}+16y=8$$

Leggðu -3y saman við 16y.

$$13y+\frac{9}{2}=8$$

Dragðu \frac{9}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$13y=\frac{7}{2}$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=\frac{7}{26}$$

Skiptu \frac{7}{26} út fyrir y í x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{26}+\frac{1}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum \frac{7}{26} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{7}{78}+\frac{1}{2}$$

Leggðu \frac{1}{2} saman við -\frac{7}{78} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{16}{39}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\9&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{12\times 16-4\times 9}&-\frac{4}{12\times 16-4\times 9}\\-\frac{9}{12\times 16-4\times 9}&\frac{12}{12\times 16-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}&-\frac{1}{39}\\-\frac{3}{52}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{39}\times 6-\frac{1}{39}\times 8\\-\frac{3}{52}\times 6+\frac{1}{13}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{39}\\\frac{7}{26}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12x+4y=6,9x+16y=8$$

Til að gera 12x og 9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 12.

$$9\times 12x+9\times 4y=9\times 6,12\times 9x+12\times 16y=12\times 8$$

Einfaldaðu.

$$108x+36y=54,108x+192y=96$$

Dragðu 108x+192y=96 frá 108x+36y=54 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$108x-108x+36y-192y=54-96$$

Leggðu 108x saman við -108x. Liðirnir 108x og -108x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$36y-192y=54-96$$

Leggðu 36y saman við -192y.

$$-156y=54-96$$

Leggðu 54 saman við -96.

$$-156y=-42$$

Deildu báðum hliðum með -156.

$$y=\frac{7}{26}$$

Skiptu \frac{7}{26} út fyrir y í 9x+16y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$9x+16\times \frac{7}{26}=8$$

Margfaldaðu 16 sinnum \frac{7}{26}.

$$9x+\frac{56}{13}=8$$

Dragðu \frac{56}{13} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\frac{48}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{16}{39}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{39},y=\frac{7}{26}$$