Leysa {l}{12a+4b=-4}{3a-9b=-21}

$$\left. \begin{array} { l } { 12 a + 4 b = - 4 } \\ { 3 a - 9 b = - 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a=-1$$

$$b=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$12a+4b=-4$$

Dragðu 4b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$12a=-4b-4$$

Deildu báðum hliðum með 12.

$$a=\frac{1}{12}\left(-4b-4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{12} sinnum -4b-4.

$$a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}$$

Settu \frac{-b-1}{3} inn fyrir a í hinni jöfnunni, 3a-9b=-21.

$$3\left(-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}\right)-9b=-21$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-b-1}{3}.

$$-b-1-9b=-21$$

Leggðu -b saman við -9b.

$$-10b-1=-21$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-10b=-20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í a=-\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{3} sinnum 2.

$$a=\frac{-2-1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við -\frac{2}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$a=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-1,b=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&4\\3&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{12\left(-9\right)-4\times 3}&-\frac{4}{12\left(-9\right)-4\times 3}\\-\frac{3}{12\left(-9\right)-4\times 3}&\frac{12}{12\left(-9\right)-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}&\frac{1}{30}\\\frac{1}{40}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{40}\left(-4\right)+\frac{1}{30}\left(-21\right)\\\frac{1}{40}\left(-4\right)-\frac{1}{10}\left(-21\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=-1,b=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$12a+4b=-4,3a-9b=-21$$

Til að gera 12a og 3a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 12.

$$3\times 12a+3\times 4b=3\left(-4\right),12\times 3a+12\left(-9\right)b=12\left(-21\right)$$

Einfaldaðu.

$$36a+12b=-12,36a-108b=-252$$

Dragðu 36a-108b=-252 frá 36a+12b=-12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$36a-36a+12b+108b=-12+252$$

Leggðu 36a saman við -36a. Liðirnir 36a og -36a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$12b+108b=-12+252$$

Leggðu 12b saman við 108b.

$$120b=-12+252$$

Leggðu -12 saman við 252.

$$120b=240$$

Deildu báðum hliðum með 120.

$$b=2$$

Skiptu 2 út fyrir b í 3a-9b=-21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$3a-9\times 2=-21$$

Margfaldaðu -9 sinnum 2.

$$3a-18=-21$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3a=-3$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$a=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=-1,b=2$$