Leysa {l}{10x+4y=-12}{-9x-5y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 4 y = - 12 } \\ { - 9 x - 5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+4y=-12$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-4y-12$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-4y-12\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -4y-12.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

Settu \frac{-2y-6}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x-5y=1.

$$-9\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)-5y=1$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{-2y-6}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}-5y=1$$

Leggðu \frac{18y}{5} saman við -5y.

$$-\frac{7}{5}y+\frac{54}{5}=1$$

Dragðu \frac{54}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{5}y=-\frac{49}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7-\frac{6}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{5} sinnum 7.

$$x=\frac{-14-6}{5}$$

Leggðu -\frac{6}{5} saman við -\frac{14}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&4\\-9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&-\frac{4}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}&\frac{10}{10\left(-5\right)-4\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}&-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\\-\frac{9}{14}\left(-12\right)-\frac{5}{7}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+4y=-12,-9x-5y=1$$

Til að gera 10x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 10.

$$-9\times 10x-9\times 4y=-9\left(-12\right),10\left(-9\right)x+10\left(-5\right)y=10$$

Einfaldaðu.

$$-90x-36y=108,-90x-50y=10$$

Dragðu -90x-50y=10 frá -90x-36y=108 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-90x+90x-36y+50y=108-10$$

Leggðu -90x saman við 90x. Liðirnir -90x og 90x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-36y+50y=108-10$$

Leggðu -36y saman við 50y.

$$14y=108-10$$

Leggðu 108 saman við -10.

$$14y=98$$

Deildu báðum hliðum með 14.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í -9x-5y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x-5\times 7=1$$

Margfaldaðu -5 sinnum 7.

$$-9x-35=1$$

Leggðu 35 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9x=36$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=7$$