Leysa {l}{10x+2y=50}{7x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 10 x + 2 y = 50 } \\ { 7 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=-25$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$10x+2y=50$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10x=-2y+50$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-2y+50\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{10} sinnum -2y+50.

$$x=-\frac{1}{5}y+5$$

Settu -\frac{y}{5}+5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 7x+2y=20.

$$7\left(-\frac{1}{5}y+5\right)+2y=20$$

Margfaldaðu 7 sinnum -\frac{y}{5}+5.

$$-\frac{7}{5}y+35+2y=20$$

Leggðu -\frac{7y}{5} saman við 2y.

$$\frac{3}{5}y+35=20$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{5}y=-15$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-25$$

Skiptu -25 út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y+5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-25\right)+5$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -25.

$$x=5+5$$

Leggðu 5 saman við 5.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-25$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10\times 2-2\times 7}&-\frac{2}{10\times 2-2\times 7}\\-\frac{7}{10\times 2-2\times 7}&\frac{10}{10\times 2-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{7}{6}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 50-\frac{1}{3}\times 20\\-\frac{7}{6}\times 50+\frac{5}{3}\times 20\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-25\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=-25$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$10x+2y=50,7x+2y=20$$

Dragðu 7x+2y=20 frá 10x+2y=50 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-7x+2y-2y=50-20$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10x-7x=50-20$$

Leggðu 10x saman við -7x.

$$3x=50-20$$

Leggðu 50 saman við -20.

$$3x=30$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=10$$

Skiptu 10 út fyrir x í 7x+2y=20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$7\times 10+2y=20$$

Margfaldaðu 7 sinnum 10.

$$70+2y=20$$

Dragðu 70 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=-50$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=-25$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-25$$