Leysa {l}{0.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{112}{15} = 7\frac{7}{15} \approx 7.466666667$$

$$y = \frac{79}{15} = 5\frac{4}{15} \approx 5.266666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.5x+y=9$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.5x=-y+9$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$x=2\left(-y+9\right)$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+9.

$$x=-2y+18$$

Settu -2y+18 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-2y+18\right)+0.2y=13$$

Margfaldaðu 1.6 sinnum -2y+18.

$$-3.2y+28.8+0.2y=13$$

Leggðu -\frac{16y}{5} saman við \frac{y}{5}.

$$-3y+28.8=13$$

Dragðu 28.8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-15.8$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=\frac{79}{15}$$

Skiptu \frac{79}{15} út fyrir y í x=-2y+18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times \frac{79}{15}+18$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{79}{15}.

$$x=-\frac{158}{15}+18$$

Leggðu 18 saman við -\frac{158}{15}.

$$x=\frac{112}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{0.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{0.5\times 0.2-1.6}&\frac{0.5}{0.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}&\frac{2}{3}\\\frac{16}{15}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15}\times 9+\frac{2}{3}\times 13\\\frac{16}{15}\times 9-\frac{1}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{15}\\\frac{79}{15}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Til að gera \frac{x}{2} og \frac{8x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1.6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.5.

$$1.6\times 0.5x+1.6y=1.6\times 9,0.5\times 1.6x+0.5\times 0.2y=0.5\times 13$$

Einfaldaðu.

$$0.8x+1.6y=14.4,0.8x+0.1y=6.5$$

Dragðu 0.8x+0.1y=6.5 frá 0.8x+1.6y=14.4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.8x-0.8x+1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Leggðu \frac{4x}{5} saman við -\frac{4x}{5}. Liðirnir \frac{4x}{5} og -\frac{4x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$1.6y-0.1y=14.4-6.5$$

Leggðu \frac{8y}{5} saman við -\frac{y}{10}.

$$1.5y=14.4-6.5$$

Leggðu 14.4 saman við -6.5 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$1.5y=7.9$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.5. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{79}{15}$$

Skiptu \frac{79}{15} út fyrir y í 1.6x+0.2y=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$1.6x+0.2\times \frac{79}{15}=13$$

Margfaldaðu 0.2 sinnum \frac{79}{15} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$1.6x+\frac{79}{75}=13$$

Dragðu \frac{79}{75} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$1.6x=\frac{896}{75}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 1.6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{112}{15}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{112}{15},y=\frac{79}{15}$$