Leysa {l}{0.2x+0.1y=-180}{-0.7x-0.2y=480}{text{Thesolutionis}}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.2 x + 0.1 y = - 180 } \\ { - 0.7 x - 0.2 y = 480 } \\ { \text { The solution is } } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-400$$

$$y=-1000$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.2x+0.1y=-180$$

Dragðu \frac{y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.2x=-0.1y-180$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 5.

$$x=5\left(-0.1y-180\right)$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{y}{10}-180.

$$x=-0.5y-900$$

Settu -\frac{y}{2}-900 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -0.7x-0.2y=480.

$$-0.7\left(-0.5y-900\right)-0.2y=480$$

Margfaldaðu -0.7 sinnum -\frac{y}{2}-900.

$$0.35y+630-0.2y=480$$

Leggðu \frac{7y}{20} saman við -\frac{y}{5}.

$$0.15y+630=480$$

Dragðu 630 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.15y=-150$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.15. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1000$$

Skiptu -1000 út fyrir y í x=-0.5y-900. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-0.5\left(-1000\right)-900$$

Margfaldaðu -0.5 sinnum -1000.

$$x=500-900$$

Leggðu -900 saman við 500.

$$x=-400$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-400,y=-1000$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.2&0.1\\-0.7&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&-\frac{0.1}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\\-\frac{-0.7}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}&\frac{0.2}{0.2\left(-0.2\right)-0.1\left(-0.7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}&-\frac{10}{3}\\\frac{70}{3}&\frac{20}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-180\\480\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{3}\left(-180\right)-\frac{10}{3}\times 480\\\frac{70}{3}\left(-180\right)+\frac{20}{3}\times 480\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-400\\-1000\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-400,y=-1000$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.2x+0.1y=-180,-0.7x-0.2y=480$$

Til að gera \frac{x}{5} og -\frac{7x}{10} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -0.7 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.2.

$$-0.7\times 0.2x-0.7\times 0.1y=-0.7\left(-180\right),0.2\left(-0.7\right)x+0.2\left(-0.2\right)y=0.2\times 480$$

Einfaldaðu.

$$-0.14x-0.07y=126,-0.14x-0.04y=96$$

Dragðu -0.14x-0.04y=96 frá -0.14x-0.07y=126 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-0.14x+0.14x-0.07y+0.04y=126-96$$

Leggðu -\frac{7x}{50} saman við \frac{7x}{50}. Liðirnir -\frac{7x}{50} og \frac{7x}{50} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-0.07y+0.04y=126-96$$

Leggðu -\frac{7y}{100} saman við \frac{y}{25}.

$$-0.03y=126-96$$

Leggðu 126 saman við -96.

$$-0.03y=30$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.03. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1000$$

Skiptu -1000 út fyrir y í -0.7x-0.2y=480. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-0.7x-0.2\left(-1000\right)=480$$

Margfaldaðu -0.2 sinnum -1000.

$$-0.7x+200=480$$

Dragðu 200 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.7x=280$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.7. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-400$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-400,y=-1000$$