Leysa {l}{0.04x+0.1y=3.4}{0.03x-0.05y=1.3}

$$\left. \begin{array} { l } { 0.04 x + 0.1 y = 3.4 } \\ { 0.03 x - 0.05 y = 1.3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=60$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$0.04x+0.1y=3.4,0.03x-0.05y=1.3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$0.04x+0.1y=3.4$$

Dragðu \frac{y}{10} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.04x=-0.1y+3.4$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 25.

$$x=25\left(-0.1y+3.4\right)$$

Margfaldaðu 25 sinnum -\frac{y}{10}+3.4.

$$x=-2.5y+85$$

Settu -\frac{5y}{2}+85 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.03x-0.05y=1.3.

$$0.03\left(-2.5y+85\right)-0.05y=1.3$$

Margfaldaðu 0.03 sinnum -\frac{5y}{2}+85.

$$-0.075y+2.55-0.05y=1.3$$

Leggðu -\frac{3y}{40} saman við -\frac{y}{20}.

$$-0.125y+2.55=1.3$$

Dragðu 2.55 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.125y=-1.25$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -8.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=-2.5y+85. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2.5\times 10+85$$

Margfaldaðu -2.5 sinnum 10.

$$x=-25+85$$

Leggðu 85 saman við -25.

$$x=60$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=60,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$0.04x+0.1y=3.4,0.03x-0.05y=1.3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.04&0.1\\0.03&-0.05\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.05}{0.04\left(-0.05\right)-0.1\times 0.03}&-\frac{0.1}{0.04\left(-0.05\right)-0.1\times 0.03}\\-\frac{0.03}{0.04\left(-0.05\right)-0.1\times 0.03}&\frac{0.04}{0.04\left(-0.05\right)-0.1\times 0.03}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10&20\\6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3.4\\1.3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\times 3.4+20\times 1.3\\6\times 3.4-8\times 1.3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=60,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$0.04x+0.1y=3.4,0.03x-0.05y=1.3$$

Til að gera \frac{x}{25} og \frac{3x}{100} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.03 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 0.04.

$$0.03\times 0.04x+0.03\times 0.1y=0.03\times 3.4,0.04\times 0.03x+0.04\left(-0.05\right)y=0.04\times 1.3$$

Einfaldaðu.

$$0.0012x+0.003y=0.102,0.0012x-0.002y=0.052$$

Dragðu 0.0012x-0.002y=0.052 frá 0.0012x+0.003y=0.102 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.0012x-0.0012x+0.003y+0.002y=0.102-0.052$$

Leggðu \frac{3x}{2500} saman við -\frac{3x}{2500}. Liðirnir \frac{3x}{2500} og -\frac{3x}{2500} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.003y+0.002y=0.102-0.052$$

Leggðu \frac{3y}{1000} saman við \frac{y}{500}.

$$0.005y=0.102-0.052$$

Leggðu 0.102 saman við -0.052 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.005y=0.05$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 200.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í 0.03x-0.05y=1.3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.03x-0.05\times 10=1.3$$

Margfaldaðu -0.05 sinnum 10.

$$0.03x-0.5=1.3$$

Leggðu 0.5 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.03x=1.8$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.03. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=60$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=60,y=10$$