Leysa {l}{-x-5y=11}{2x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 5 y = 11 } \\ { 2 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{56}{9} = 6\frac{2}{9} \approx 6.222222222$$

$$y = -\frac{31}{9} = -3\frac{4}{9} \approx -3.444444444$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-5y=11$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=5y+11$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(5y+11\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum 5y+11.

$$x=-5y-11$$

Settu -5y-11 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=9.

$$2\left(-5y-11\right)+y=9$$

Margfaldaðu 2 sinnum -5y-11.

$$-10y-22+y=9$$

Leggðu -10y saman við y.

$$-9y-22=9$$

Leggðu 22 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9y=31$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Skiptu -\frac{31}{9} út fyrir y í x=-5y-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-5\left(-\frac{31}{9}\right)-11$$

Margfaldaðu -5 sinnum -\frac{31}{9}.

$$x=\frac{155}{9}-11$$

Leggðu -11 saman við \frac{155}{9}.

$$x=\frac{56}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-1-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-1-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{5}{9}\\-\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{5}{9}\times 9\\-\frac{2}{9}\times 11-\frac{1}{9}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{56}{9}\\-\frac{31}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-5y=11,2x+y=9$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\times 11,-2x-y=-9$$

Einfaldaðu.

$$-2x-10y=22,-2x-y=-9$$

Dragðu -2x-y=-9 frá -2x-10y=22 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-10y+y=22+9$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y+y=22+9$$

Leggðu -10y saman við y.

$$-9y=22+9$$

Leggðu 22 saman við 9.

$$-9y=31$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$y=-\frac{31}{9}$$

Skiptu -\frac{31}{9} út fyrir y í 2x+y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-\frac{31}{9}=9$$

Leggðu \frac{31}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{112}{9}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{56}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{56}{9},y=-\frac{31}{9}$$