Leysa {l}{-x-3y=6}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 3 y = 6 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-3y=6$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=3y+6$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(3y+6\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum 6+3y.

$$x=-3y-6$$

Settu -3y-6 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+3y=3.

$$2\left(-3y-6\right)+3y=3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -3y-6.

$$-6y-12+3y=3$$

Leggðu -6y saman við 3y.

$$-3y-12=3$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-3y=15$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-3y-6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\left(-5\right)-6$$

Margfaldaðu -3 sinnum -5.

$$x=15-6$$

Leggðu -6 saman við 15.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{-3-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6+3\\-\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-3y=6,2x+3y=3$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-3\right)y=2\times 6,-2x-3y=-3$$

Einfaldaðu.

$$-2x-6y=12,-2x-3y=-3$$

Dragðu -2x-3y=-3 frá -2x-6y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-6y+3y=12+3$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y+3y=12+3$$

Leggðu -6y saman við 3y.

$$-3y=12+3$$

Leggðu 12 saman við 3.

$$-3y=15$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 2x+3y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+3\left(-5\right)=3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -5.

$$2x-15=3$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=18$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-5$$