Leysa {l}{-x-2y=9}{3x-2y=21}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = 9 } \\ { 3 x - 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-2y=9$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=2y+9$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(2y+9\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum 2y+9.

$$x=-2y-9$$

Settu -2y-9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=21.

$$3\left(-2y-9\right)-2y=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2y-9.

$$-6y-27-2y=21$$

Leggðu -6y saman við -2y.

$$-8y-27=21$$

Leggðu 27 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8y=48$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=-6$$

Skiptu -6 út fyrir y í x=-2y-9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-6\right)-9$$

Margfaldaðu -2 sinnum -6.

$$x=12-9$$

Leggðu -9 saman við 12.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{1}{-\left(-2\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\21\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 9+\frac{1}{4}\times 21\\-\frac{3}{8}\times 9-\frac{1}{8}\times 21\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-2y=9,3x-2y=21$$

Dragðu 3x-2y=21 frá -x-2y=9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x-3x-2y+2y=9-21$$

Leggðu -2y saman við 2y. Liðirnir -2y og 2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x-3x=9-21$$

Leggðu -x saman við -3x.

$$-4x=9-21$$

Leggðu 9 saman við -21.

$$-4x=-12$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$x=3$$

Skiptu 3 út fyrir x í 3x-2y=21. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\times 3-2y=21$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$9-2y=21$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=12$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-6$$