Leysa {l}{-x-2y=-7}{2x+2y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x - 2 y = - 7 } \\ { 2 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x-2y=-7$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-x=2y-7$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(2y-7\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum 2y-7.

$$x=-2y+7$$

Settu -2y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=16.

$$2\left(-2y+7\right)+2y=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y+7.

$$-4y+14+2y=16$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y+14=16$$

Dragðu 14 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=-2y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\left(-1\right)+7$$

Margfaldaðu -2 sinnum -1.

$$x=2+7$$

Leggðu 7 saman við 2.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+16\\-\left(-7\right)-\frac{1}{2}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x-2y=-7,2x+2y=16$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-2\right)y=2\left(-7\right),-2x-2y=-16$$

Einfaldaðu.

$$-2x-4y=-14,-2x-2y=-16$$

Dragðu -2x-2y=-16 frá -2x-4y=-14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-4y+2y=-14+16$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-4y+2y=-14+16$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y=-14+16$$

Leggðu -14 saman við 16.

$$-2y=2$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x+2y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\left(-1\right)=16$$

Margfaldaðu 2 sinnum -1.

$$2x-2=16$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=18$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=-1$$