Leysa {l}{-x+y=3}{2x+2y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 3 } \\ { 2 x + 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+y=3$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-y+3$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-y+3\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -y+3.

$$x=y-3$$

Settu y-3 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=2.

$$2\left(y-3\right)+2y=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum y-3.

$$2y-6+2y=2$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y-6=2$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4y=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=y-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2-3$$

Leggðu -3 saman við 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\\-\frac{2}{-2-2}&-\frac{1}{-2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{4}\times 2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+y=3,2x+2y=2$$

Til að gera -x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$2\left(-1\right)x+2y=2\times 3,-2x-2y=-2$$

Einfaldaðu.

$$-2x+2y=6,-2x-2y=-2$$

Dragðu -2x-2y=-2 frá -2x+2y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+2y+2y=6+2$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y+2y=6+2$$

Leggðu 2y saman við 2y.

$$4y=6+2$$

Leggðu 6 saman við 2.

$$4y=8$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+2y=2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+2\times 2=2$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$2x+4=2$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=2$$