Leysa {l}{-x+y=2}{2y=9x+9}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + y = 2 } \\ { 2 y = 9 x + 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{5}{7}\approx -0.714285714$$

$$y = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9x frá báðum hliðum.

$$2y-9x=9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-y+2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-y+2\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -y+2.

$$x=y-2$$

Settu y-2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x+2y=9.

$$-9\left(y-2\right)+2y=9$$

Margfaldaðu -9 sinnum y-2.

$$-9y+18+2y=9$$

Leggðu -9y saman við 2y.

$$-7y+18=9$$

Dragðu 18 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7y=-9$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Skiptu \frac{9}{7} út fyrir y í x=y-2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{9}{7}-2$$

Leggðu -2 saman við \frac{9}{7}.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9x frá báðum hliðum.

$$2y-9x=9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&1\\-9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-2-\left(-9\right)}&-\frac{1}{-2-\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{9}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\\\frac{9}{7}\times 2-\frac{1}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7}\\\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 9x frá báðum hliðum.

$$2y-9x=9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+y=2,-9x+2y=9$$

Til að gera -x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-9\left(-1\right)x-9y=-9\times 2,-\left(-9\right)x-2y=-9$$

Einfaldaðu.

$$9x-9y=-18,9x-2y=-9$$

Dragðu 9x-2y=-9 frá 9x-9y=-18 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9x-9x-9y+2y=-18+9$$

Leggðu 9x saman við -9x. Liðirnir 9x og -9x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y+2y=-18+9$$

Leggðu -9y saman við 2y.

$$-7y=-18+9$$

Leggðu -18 saman við 9.

$$-7y=-9$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=\frac{9}{7}$$

Skiptu \frac{9}{7} út fyrir y í -9x+2y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x+2\times \frac{9}{7}=9$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{9}{7}.

$$-9x+\frac{18}{7}=9$$

Dragðu \frac{18}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=\frac{45}{7}$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{5}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{7},y=\frac{9}{7}$$