Leysa {l}{-x+6y=20}{-x+3y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 6 y = 20 } \\ { - x + 3 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+6y=20$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-6y+20$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-6y+20\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -6y+20.

$$x=6y-20$$

Settu 6y-20 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x+3y=8.

$$-\left(6y-20\right)+3y=8$$

Margfaldaðu -1 sinnum 6y-20.

$$-6y+20+3y=8$$

Leggðu -6y saman við 3y.

$$-3y+20=8$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=6y-20. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=6\times 4-20$$

Margfaldaðu 6 sinnum 4.

$$x=24-20$$

Leggðu -20 saman við 24.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&6\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{6}{-3-6\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-3-6\left(-1\right)}&-\frac{1}{-3-6\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-2\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20-2\times 8\\\frac{1}{3}\times 20-\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+6y=20,-x+3y=8$$

Dragðu -x+3y=8 frá -x+6y=20 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+6y-3y=20-8$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-3y=20-8$$

Leggðu 6y saman við -3y.

$$3y=20-8$$

Leggðu 20 saman við -8.

$$3y=12$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í -x+3y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x+3\times 4=8$$

Margfaldaðu 3 sinnum 4.

$$-x+12=8$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=4$$