Leysa {l}{-x+5y=-1}{+x+2y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 5 y = - 1 } \\ { + x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{27}{7} = 3\frac{6}{7} \approx 3.857142857$$

$$y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+5y=-1$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-5y-1$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-5y-1\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -5y-1.

$$x=5y+1$$

Settu 5y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+2y=5.

$$5y+1+2y=5$$

Leggðu 5y saman við 2y.

$$7y+1=5$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7y=4$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Skiptu \frac{4}{7} út fyrir y í x=5y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=5\times \frac{4}{7}+1$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{4}{7}.

$$x=\frac{20}{7}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{20}{7}.

$$x=\frac{27}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\left(-1\right)+\frac{5}{7}\times 5\\\frac{1}{7}\left(-1\right)+\frac{1}{7}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+5y=-1,x+2y=5$$

Til að gera -x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$-x+5y=-1,-x-2y=-5$$

Dragðu -x-2y=-5 frá -x+5y=-1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x+x+5y+2y=-1+5$$

Leggðu -x saman við x. Liðirnir -x og x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y+2y=-1+5$$

Leggðu 5y saman við 2y.

$$7y=-1+5$$

Leggðu -1 saman við 5.

$$7y=4$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=\frac{4}{7}$$

Skiptu \frac{4}{7} út fyrir y í x+2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+2\times \frac{4}{7}=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{4}{7}.

$$x+\frac{8}{7}=5$$

Dragðu \frac{8}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{27}{7}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{27}{7},y=\frac{4}{7}$$