Leysa {l}{-x+2y=17}{2x+2y=-10}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 2 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-9$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+2y=17$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-2y+17$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-2y+17\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -2y+17.

$$x=2y-17$$

Settu 2y-17 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=-10.

$$2\left(2y-17\right)+2y=-10$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2y-17.

$$4y-34+2y=-10$$

Leggðu 4y saman við 2y.

$$6y-34=-10$$

Leggðu 34 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6y=24$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=2y-17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2\times 4-17$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=8-17$$

Leggðu -17 saman við 8.

$$x=-9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{2}{-2-2\times 2}\\-\frac{2}{-2-2\times 2}&-\frac{1}{-2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{3}\left(-10\right)\\\frac{1}{3}\times 17+\frac{1}{6}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-9,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+2y=17,2x+2y=-10$$

Dragðu 2x+2y=-10 frá -x+2y=17 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-x-2x+2y-2y=17+10$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x-2x=17+10$$

Leggðu -x saman við -2x.

$$-3x=17+10$$

Leggðu 17 saman við 10.

$$-3x=27$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=-9$$

Skiptu -9 út fyrir x í 2x+2y=-10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\left(-9\right)+2y=-10$$

Margfaldaðu 2 sinnum -9.

$$-18+2y=-10$$

Leggðu 18 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=8$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-9,y=4$$