Leysa {l}{-x+3/4y=7}{4x-y=-16}

$$\left. \begin{array} { l } { - x + \frac { 3 } { 4 } y = 7 } \\ { 4 x - y = - 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-x+\frac{3}{4}y=7$$

Dragðu \frac{3y}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-\frac{3}{4}y+7$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-\left(-\frac{3}{4}y+7\right)$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{3y}{4}+7.

$$x=\frac{3}{4}y-7$$

Settu \frac{3y}{4}-7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=-16.

$$4\left(\frac{3}{4}y-7\right)-y=-16$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{3y}{4}-7.

$$3y-28-y=-16$$

Leggðu 3y saman við -y.

$$2y-28=-16$$

Leggðu 28 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=\frac{3}{4}y-7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{4}\times 6-7$$

Margfaldaðu \frac{3}{4} sinnum 6.

$$x=\frac{9}{2}-7$$

Leggðu -7 saman við \frac{9}{2}.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&\frac{3}{4}\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\\-\frac{4}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}&-\frac{1}{-\left(-1\right)-\frac{3}{4}\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{8}\\2&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{3}{8}\left(-16\right)\\2\times 7+\frac{1}{2}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-x+\frac{3}{4}y=7,4x-y=-16$$

Til að gera -x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -1.

$$4\left(-1\right)x+4\times \frac{3}{4}y=4\times 7,-4x-\left(-y\right)=-\left(-16\right)$$

Einfaldaðu.

$$-4x+3y=28,-4x+y=16$$

Dragðu -4x+y=16 frá -4x+3y=28 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-4x+4x+3y-y=28-16$$

Leggðu -4x saman við 4x. Liðirnir -4x og 4x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y-y=28-16$$

Leggðu 3y saman við -y.

$$2y=28-16$$

Leggðu 28 saman við -16.

$$2y=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í 4x-y=-16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x-6=-16$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x=-10$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{5}{2},y=6$$