Leysa {l}{-9x-y=-14}{-x-5y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - y = - 14 } \\ { - x - 5 y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-9x-y=-14$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9x=y-14$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(y-14\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum y-14.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}$$

Settu \frac{-y+14}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -x-5y=18.

$$-\left(-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}\right)-5y=18$$

Margfaldaðu -1 sinnum \frac{-y+14}{9}.

$$\frac{1}{9}y-\frac{14}{9}-5y=18$$

Leggðu \frac{y}{9} saman við -5y.

$$-\frac{44}{9}y-\frac{14}{9}=18$$

Leggðu \frac{14}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{44}{9}y=\frac{176}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{44}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-\frac{1}{9}y+\frac{14}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-4\right)+\frac{14}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum -4.

$$x=\frac{4+14}{9}$$

Leggðu \frac{14}{9} saman við \frac{4}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-1\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-5\right)-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&-\frac{9}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{44}\left(-14\right)+\frac{1}{44}\times 18\\\frac{1}{44}\left(-14\right)-\frac{9}{44}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-9x-y=-14,-x-5y=18$$

Til að gera -9x og -x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -9.

$$-\left(-9\right)x-\left(-y\right)=-\left(-14\right),-9\left(-1\right)x-9\left(-5\right)y=-9\times 18$$

Einfaldaðu.

$$9x+y=14,9x+45y=-162$$

Dragðu 9x+45y=-162 frá 9x+y=14 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9x-9x+y-45y=14+162$$

Leggðu 9x saman við -9x. Liðirnir 9x og -9x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-45y=14+162$$

Leggðu y saman við -45y.

$$-44y=14+162$$

Leggðu 14 saman við 162.

$$-44y=176$$

Deildu báðum hliðum með -44.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -x-5y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-x-5\left(-4\right)=18$$

Margfaldaðu -5 sinnum -4.

$$-x+20=18$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=-2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-4$$