Leysa {l}{-9x-7y=17}{10x+7y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 7 y = 17 } \\ { 10 x + 7 y = - 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=-5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-9x-7y=17$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9x=7y+17$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(7y+17\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum 7y+17.

$$x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}$$

Settu \frac{-7y-17}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+7y=-15.

$$10\left(-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}\right)+7y=-15$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{-7y-17}{9}.

$$-\frac{70}{9}y-\frac{170}{9}+7y=-15$$

Leggðu -\frac{70y}{9} saman við 7y.

$$-\frac{7}{9}y-\frac{170}{9}=-15$$

Leggðu \frac{170}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{7}{9}y=\frac{35}{9}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í x=-\frac{7}{9}y-\frac{17}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-5\right)-\frac{17}{9}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{9} sinnum -5.

$$x=\frac{35-17}{9}$$

Leggðu -\frac{17}{9} saman við \frac{35}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-7\\10&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{-7}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\\-\frac{10}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}&-\frac{9}{-9\times 7-\left(-7\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-\frac{10}{7}&-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17-15\\-\frac{10}{7}\times 17-\frac{9}{7}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=-5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-9x-7y=17,10x+7y=-15$$

Til að gera -9x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -9.

$$10\left(-9\right)x+10\left(-7\right)y=10\times 17,-9\times 10x-9\times 7y=-9\left(-15\right)$$

Einfaldaðu.

$$-90x-70y=170,-90x-63y=135$$

Dragðu -90x-63y=135 frá -90x-70y=170 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-90x+90x-70y+63y=170-135$$

Leggðu -90x saman við 90x. Liðirnir -90x og 90x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-70y+63y=170-135$$

Leggðu -70y saman við 63y.

$$-7y=170-135$$

Leggðu 170 saman við -135.

$$-7y=35$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-5$$

Skiptu -5 út fyrir y í 10x+7y=-15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x+7\left(-5\right)=-15$$

Margfaldaðu 7 sinnum -5.

$$10x-35=-15$$

Leggðu 35 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=20$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=-5$$