Leysa {l}{-9x-6y=6}{3x-6y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x - 6 y = 6 } \\ { 3 x - 6 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-9x-6y=6$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9x=6y+6$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(6y+6\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum 6+6y.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}$$

Settu \frac{-2y-2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-6y=-18.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}\right)-6y=-18$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-2y-2}{3}.

$$-2y-2-6y=-18$$

Leggðu -2y saman við -6y.

$$-8y-2=-18$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8y=-16$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y-\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2-\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum 2.

$$x=\frac{-4-2}{3}$$

Leggðu -\frac{2}{3} saman við -\frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-6\\3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfan \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{9}{-9\left(-6\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{24}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 6+\frac{1}{12}\left(-18\right)\\-\frac{1}{24}\times 6-\frac{1}{8}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-9x-6y=6,3x-6y=-18$$

Dragðu 3x-6y=-18 frá -9x-6y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-9x-3x-6y+6y=6+18$$

Leggðu -6y saman við 6y. Liðirnir -6y og 6y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9x-3x=6+18$$

Leggðu -9x saman við -3x.

$$-12x=6+18$$

Leggðu 6 saman við 18.

$$-12x=24$$

Deildu báðum hliðum með -12.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í 3x-6y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$3\left(-2\right)-6y=-18$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2.

$$-6-6y=-18$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-6y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$