Leysa {l}{-9x+6y=13}{cx+8y=-12}

$$\left. \begin{array} { l } { - 9 x + 6 y = 13 } \\ { c x + 8 y = - 12 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

$$y=-\frac{108-13c}{6\left(c+12\right)}$$

$$c\neq -12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-9x+6y=13$$

Dragðu 6y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-9x=-6y+13$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=-\frac{1}{9}\left(-6y+13\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{9} sinnum -6y+13.

$$x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}$$

Settu \frac{2y}{3}-\frac{13}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, cx+8y=-12.

$$c\left(\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}\right)+8y=-12$$

Margfaldaðu c sinnum \frac{2y}{3}-\frac{13}{9}.

$$\frac{2c}{3}y-\frac{13c}{9}+8y=-12$$

Leggðu \frac{2cy}{3} saman við 8y.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y-\frac{13c}{9}=-12$$

Leggðu \frac{13c}{9} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\left(\frac{2c}{3}+8\right)y=\frac{13c}{9}-12$$

Deildu báðum hliðum með \frac{2c}{3}+8.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Skiptu \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)} út fyrir y í x=\frac{2}{3}y-\frac{13}{9}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Margfaldaðu \frac{2}{3} sinnum \frac{-108+13c}{6\left(c+12\right)}.

$$x=\frac{13c-108}{9\left(c+12\right)}-\frac{13}{9}$$

Leggðu -\frac{13}{9} saman við \frac{-108+13c}{9\left(c+12\right)}.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&6\\c&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-9\times 8-6c}&-\frac{6}{-9\times 8-6c}\\-\frac{c}{-9\times 8-6c}&-\frac{9}{-9\times 8-6c}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(c+12\right)}&\frac{1}{c+12}\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}&\frac{3}{2\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{4}{3\left(c+12\right)}\right)\times 13+\frac{1}{c+12}\left(-12\right)\\\frac{c}{6\left(c+12\right)}\times 13+\frac{3}{2\left(c+12\right)}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3\left(c+12\right)}\\\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-9x+6y=13,cx+8y=-12$$

Til að gera -9x og cx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með c og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -9.

$$c\left(-9\right)x+c\times 6y=c\times 13,-9cx-9\times 8y=-9\left(-12\right)$$

Einfaldaðu.

$$\left(-9c\right)x+6cy=13c,\left(-9c\right)x-72y=108$$

Dragðu \left(-9c\right)x-72y=108 frá \left(-9c\right)x+6cy=13c með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$\left(-9c\right)x+9cx+6cy+72y=13c-108$$

Leggðu -9cx saman við 9cx. Liðirnir -9cx og 9cx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6cy+72y=13c-108$$

Leggðu 6cy saman við 72y.

$$\left(6c+72\right)y=13c-108$$

Deildu báðum hliðum með 72+6c.

$$y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$

Skiptu \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)} út fyrir y í cx+8y=-12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$cx+8\times \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}=-12$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}.

$$cx+\frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)}=-12$$

Dragðu \frac{4\left(13c-108\right)}{3\left(c+12\right)} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$cx=-\frac{88c}{3\left(c+12\right)}$$

Deildu báðum hliðum með c.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{88}{3\left(c+12\right)},y=\frac{13c-108}{6\left(c+12\right)}$$