Leysa {l}{-8x-6y=-10}{x-y=17}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x - 6 y = - 10 } \\ { x - y = 17 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=8$$

$$y=-9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x-6y=-10$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-8x=6y-10$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(6y-10\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum 6y-10.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}$$

Settu \frac{-3y+5}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=17.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}-y=17$$

Leggðu -\frac{3y}{4} saman við -y.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{4}=17$$

Dragðu \frac{5}{4} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{7}{4}y=\frac{63}{4}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{4}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{4}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-9\right)+\frac{5}{4}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{4} sinnum -9.

$$x=\frac{27+5}{4}$$

Leggðu \frac{5}{4} saman við \frac{27}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{-6}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{1}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{14}&-\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\17\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-10\right)+\frac{3}{7}\times 17\\-\frac{1}{14}\left(-10\right)-\frac{4}{7}\times 17\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=8,y=-9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x-6y=-10,x-y=17$$

Til að gera -8x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -8.

$$-8x-6y=-10,-8x-8\left(-1\right)y=-8\times 17$$

Einfaldaðu.

$$-8x-6y=-10,-8x+8y=-136$$

Dragðu -8x+8y=-136 frá -8x-6y=-10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+8x-6y-8y=-10+136$$

Leggðu -8x saman við 8x. Liðirnir -8x og 8x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-8y=-10+136$$

Leggðu -6y saman við -8y.

$$-14y=-10+136$$

Leggðu -10 saman við 136.

$$-14y=126$$

Deildu báðum hliðum með -14.

$$y=-9$$

Skiptu -9 út fyrir y í x-y=17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-\left(-9\right)=17$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=8$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=8,y=-9$$