Leysa {l}{-8x+7y=-9}{-9x+7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 7 y = - 9 } \\ { - 9 x + 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=9$$

$$y=9$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x+7y=-9$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=-7y-9$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-7y-9\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum -7y-9.

$$x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}$$

Settu \frac{7y+9}{8} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x+7y=-18.

$$-9\left(\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}\right)+7y=-18$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{7y+9}{8}.

$$-\frac{63}{8}y-\frac{81}{8}+7y=-18$$

Leggðu -\frac{63y}{8} saman við 7y.

$$-\frac{7}{8}y-\frac{81}{8}=-18$$

Leggðu \frac{81}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{7}{8}y=-\frac{63}{8}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{7}{8}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=9$$

Skiptu 9 út fyrir y í x=\frac{7}{8}y+\frac{9}{8}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{8}\times 9+\frac{9}{8}$$

Margfaldaðu \frac{7}{8} sinnum 9.

$$x=\frac{63+9}{8}$$

Leggðu \frac{9}{8} saman við \frac{63}{8} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=9$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&7\\-9&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{7}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{-8\times 7-7\left(-9\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-7\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{9}{7}&-\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9-\left(-18\right)\\\frac{9}{7}\left(-9\right)-\frac{8}{7}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\9\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=9,y=9$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x+7y=-9,-9x+7y=-18$$

Dragðu -9x+7y=-18 frá -8x+7y=-9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-8x+9x+7y-7y=-9+18$$

Leggðu 7y saman við -7y. Liðirnir 7y og -7y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-8x+9x=-9+18$$

Leggðu -8x saman við 9x.

$$x=-9+18$$

Leggðu -9 saman við 18.

$$x=9$$

Skiptu 9 út fyrir x í -9x+7y=-18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-9\times 9+7y=-18$$

Margfaldaðu -9 sinnum 9.

$$-81+7y=-18$$

Leggðu 81 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=63$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=9$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=9,y=9$$