Leysa {l}{-8x+4y=8}{8x-y=16}

$$\left. \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 8 } \\ { 8 x - y = 16 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=8$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-8x+4y=8$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-8x=-4y+8$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+8\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{8} sinnum -4y+8.

$$x=\frac{1}{2}y-1$$

Settu \frac{y}{2}-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-y=16.

$$8\left(\frac{1}{2}y-1\right)-y=16$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{y}{2}-1.

$$4y-8-y=16$$

Leggðu 4y saman við -y.

$$3y-8=16$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=24$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í x=\frac{1}{2}y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{2}\times 8-1$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum 8.

$$x=4-1$$

Leggðu -1 saman við 4.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=8$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{4}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}&-\frac{8}{-8\left(-1\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\16\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\times 8+\frac{1}{6}\times 16\\\frac{1}{3}\times 8+\frac{1}{3}\times 16\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\8\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=8$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-8x+4y=8,8x-y=16$$

Til að gera -8x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -8.

$$8\left(-8\right)x+8\times 4y=8\times 8,-8\times 8x-8\left(-1\right)y=-8\times 16$$

Einfaldaðu.

$$-64x+32y=64,-64x+8y=-128$$

Dragðu -64x+8y=-128 frá -64x+32y=64 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-64x+64x+32y-8y=64+128$$

Leggðu -64x saman við 64x. Liðirnir -64x og 64x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$32y-8y=64+128$$

Leggðu 32y saman við -8y.

$$24y=64+128$$

Leggðu 64 saman við 128.

$$24y=192$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=8$$

Skiptu 8 út fyrir y í 8x-y=16. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x-8=16$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=24$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=8$$