Leysa {l}{-7x-8y=-2}{-5x+8y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x - 8 y = - 2 } \\ { - 5 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x-8y=-2$$

Leggðu 8y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7x=8y-2$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(8y-2\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum 8y-2.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}$$

Settu \frac{-8y+2}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+8y=26.

$$-5\left(-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}\right)+8y=26$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{-8y+2}{7}.

$$\frac{40}{7}y-\frac{10}{7}+8y=26$$

Leggðu \frac{40y}{7} saman við 8y.

$$\frac{96}{7}y-\frac{10}{7}=26$$

Leggðu \frac{10}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{96}{7}y=\frac{192}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{96}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-\frac{8}{7}y+\frac{2}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{2}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{8}{7} sinnum 2.

$$x=\frac{-16+2}{7}$$

Leggðu \frac{2}{7} saman við -\frac{16}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-8\\-5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{-8}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}&-\frac{7}{-7\times 8-\left(-8\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{1}{12}\\-\frac{5}{96}&\frac{7}{96}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\26\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-2\right)-\frac{1}{12}\times 26\\-\frac{5}{96}\left(-2\right)+\frac{7}{96}\times 26\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-2,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x-8y=-2,-5x+8y=26$$

Til að gera -7x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$-5\left(-7\right)x-5\left(-8\right)y=-5\left(-2\right),-7\left(-5\right)x-7\times 8y=-7\times 26$$

Einfaldaðu.

$$35x+40y=10,35x-56y=-182$$

Dragðu 35x-56y=-182 frá 35x+40y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$35x-35x+40y+56y=10+182$$

Leggðu 35x saman við -35x. Liðirnir 35x og -35x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$40y+56y=10+182$$

Leggðu 40y saman við 56y.

$$96y=10+182$$

Leggðu 10 saman við 182.

$$96y=192$$

Deildu báðum hliðum með 96.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í -5x+8y=26. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+8\times 2=26$$

Margfaldaðu 8 sinnum 2.

$$-5x+16=26$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-5x=10$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-2,y=2$$