Leysa {l}{-7x+8y=-1}{-6x-4y=15}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 8 y = - 1 } \\ { - 6 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{29}{19} = -1\frac{10}{19} \approx -1.526315789$$

$$y = -\frac{111}{76} = -1\frac{35}{76} \approx -1.460526316$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x+8y=-1$$

Dragðu 8y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-8y-1$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-8y-1\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum -8y-1.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}$$

Settu \frac{8y+1}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -6x-4y=15.

$$-6\left(\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}\right)-4y=15$$

Margfaldaðu -6 sinnum \frac{8y+1}{7}.

$$-\frac{48}{7}y-\frac{6}{7}-4y=15$$

Leggðu -\frac{48y}{7} saman við -4y.

$$-\frac{76}{7}y-\frac{6}{7}=15$$

Leggðu \frac{6}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{76}{7}y=\frac{111}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{76}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{111}{76}$$

Skiptu -\frac{111}{76} út fyrir y í x=\frac{8}{7}y+\frac{1}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{8}{7}\left(-\frac{111}{76}\right)+\frac{1}{7}$$

Margfaldaðu \frac{8}{7} sinnum -\frac{111}{76} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{222}{133}+\frac{1}{7}$$

Leggðu \frac{1}{7} saman við -\frac{222}{133} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&8\\-6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{8}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}&-\frac{7}{-7\left(-4\right)-8\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&-\frac{2}{19}\\\frac{3}{38}&-\frac{7}{76}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 15\\\frac{3}{38}\left(-1\right)-\frac{7}{76}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{29}{19}\\-\frac{111}{76}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x+8y=-1,-6x-4y=15$$

Til að gera -7x og -6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$-6\left(-7\right)x-6\times 8y=-6\left(-1\right),-7\left(-6\right)x-7\left(-4\right)y=-7\times 15$$

Einfaldaðu.

$$42x-48y=6,42x+28y=-105$$

Dragðu 42x+28y=-105 frá 42x-48y=6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$42x-42x-48y-28y=6+105$$

Leggðu 42x saman við -42x. Liðirnir 42x og -42x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-48y-28y=6+105$$

Leggðu -48y saman við -28y.

$$-76y=6+105$$

Leggðu 6 saman við 105.

$$-76y=111$$

Deildu báðum hliðum með -76.

$$y=-\frac{111}{76}$$

Skiptu -\frac{111}{76} út fyrir y í -6x-4y=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-6x-4\left(-\frac{111}{76}\right)=15$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{111}{76}.

$$-6x+\frac{111}{19}=15$$

Dragðu \frac{111}{19} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-6x=\frac{174}{19}$$

Deildu báðum hliðum með -6.

$$x=-\frac{29}{19}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{29}{19},y=-\frac{111}{76}$$