Leysa {l}{-7x+2y=-124}{5x-y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { - 7 x + 2 y = - 124 } \\ { 5 x - y = 18 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{88}{3} = -29\frac{1}{3} \approx -29.333333333$$

$$y = -\frac{494}{3} = -164\frac{2}{3} \approx -164.666666667$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-7x+2y=-124,5x-y=18$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-7x+2y=-124$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-7x=-2y-124$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-124\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{7} sinnum -2y-124.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{124}{7}$$

Settu \frac{124+2y}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x-y=18.

$$5\left(\frac{2}{7}y+\frac{124}{7}\right)-y=18$$

Margfaldaðu 5 sinnum \frac{124+2y}{7}.

$$\frac{10}{7}y+\frac{620}{7}-y=18$$

Leggðu \frac{10y}{7} saman við -y.

$$\frac{3}{7}y+\frac{620}{7}=18$$

Dragðu \frac{620}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{7}y=-\frac{494}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{494}{3}$$

Skiptu -\frac{494}{3} út fyrir y í x=\frac{2}{7}y+\frac{124}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{7}\left(-\frac{494}{3}\right)+\frac{124}{7}$$

Margfaldaðu \frac{2}{7} sinnum -\frac{494}{3} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{988}{21}+\frac{124}{7}$$

Leggðu \frac{124}{7} saman við -\frac{988}{21} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{88}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{88}{3},y=-\frac{494}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-7x+2y=-124,5x-y=18$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{2}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{-7\left(-1\right)-2\times 5}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-124\\18\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-124\right)+\frac{2}{3}\times 18\\\frac{5}{3}\left(-124\right)+\frac{7}{3}\times 18\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{88}{3}\\-\frac{494}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{88}{3},y=-\frac{494}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-7x+2y=-124,5x-y=18$$

Til að gera -7x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -7.

$$5\left(-7\right)x+5\times 2y=5\left(-124\right),-7\times 5x-7\left(-1\right)y=-7\times 18$$

Einfaldaðu.

$$-35x+10y=-620,-35x+7y=-126$$

Dragðu -35x+7y=-126 frá -35x+10y=-620 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-35x+35x+10y-7y=-620+126$$

Leggðu -35x saman við 35x. Liðirnir -35x og 35x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$10y-7y=-620+126$$

Leggðu 10y saman við -7y.

$$3y=-620+126$$

Leggðu -620 saman við 126.

$$3y=-494$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-\frac{494}{3}$$

Skiptu -\frac{494}{3} út fyrir y í 5x-y=18. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x-\left(-\frac{494}{3}\right)=18$$

Dragðu \frac{494}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-\frac{440}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=-\frac{88}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{88}{3},y=-\frac{494}{3}$$